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前置知识
二进制
目标
理解正负数的补码，如何计算
What
补码（英语：2's complement）是一种用二进制表示有符号数的方法，也是一种将数字的正负号变号的方式，常在计算机科学中使用。补码以有符号比特的二进制数定义。
正数和0的补码就是该数字本身再补上最高比特0。负数的补码则是将其绝对值按位取反再加1。
补码有什么用
补码系统的最大优点是可以在加法或减法处理中，不需因为数字的正负而使用不同的计算方式。只要一种加法电路就可以处理各种有号数加法，而且减法可以用一个数加上另一个数的补码来表示，因此只要有加法电路及补码电路即可完成各种有号数加法及减法，在电路设计上相当方便。
举例，8-bit补码系统的整数
下表是一些8-bit补码系统的整数。它的可表示的范围包括-128到127，总共256（=28）个整数。


另外，补码系统的0就只有一个表示方式，这和反码系统不同（在反码系统中，0有二种表示方式），因此在判断数字是否为0时，只要比较一次即可。

举例，4位的补码数字，进行加法运算
以下用4位的补码数字来说明补码系统的数字表示方式。

在表示正数和零时，补码数字和一般二进制一样，唯一的不同是在补码系统中，正数的最高比特恒为0，因此4位的补码正数，最大数字为0111 (7)。
补码数字的负数，最高比特恒为1，4位补码的数字中，最接近0的负数为1111 (-1)，以此类推，因此绝对值最大的负数是1000 (-8)。
以上的表示方式在电脑处理时格外方便，用以下的例子说明：

    0011 (3)
  + 1111 (-1)
--------------
   10010 (2)
结果10010似乎是错的，因为已经超过四个比特，不过若忽略掉（从右开始数）第5个比特，结果是0010 (2)，和我们计算的结果一样。而且若可以将二进制的1111 (-1)变号为0001 (1)，以上的式子也可以计算减法：3-1 = 2。（关键词：溢出overflow）

举例，计算补码
有符号位8位二进制表示的数字5：
0000 0101 (5)

其最高比特为0，因为此数字为正数。若要用补码系统表示 -5，首先要将5的二进制进行反相运算〔1变为0，0变为1 〕：
1111 1010

目前的数字是数字5的反码，因此需要再加1，才是补码：
1111 1011 (-5)

以上就是在补码系统中 -5的表示方式。其最高比特为1，因为此数字确实为负数。

一个负数的补码就是其对应的正数。以 -5为例，先求数字的反码：
0000 0100

再加一就是 -5的补码，也就是5。
0000 0101 (5)

简单来说，数字a（正负数皆可）的补码即为 -a。
举例，特别的数字0与-128
0的补码计算方式（以8位为例）如下：先计算它的反码：

1111 1111
再将反码加一：

0000 0000，溢出比特二进制值 = 1（二进制）
忽略溢出，其结果为0（0是唯一计算补码过程中会出现溢出的数字。）。
因此0的补码为0。
而0 x (-1) = 0，因此其补码仍满足“数字a的补码为 -a”的原则。

若计算1000 0000（这是8位内可表示有符号位区分的二进制形式的最大负数-128）的补码：先计算它的反码：
0111 1111

再加一就是它的补码。
1000 0000

1000 0000 (-128)的补码仍为1000 0000 (-128)。但(-128) x (-1) = 128，因此其补码是以上规则的例外。

总结：由于0可以等于0的补码-0，以及同样因为8位的补码可显示的值范围为 -128 ~ 127，
但-128的补码128无法用在已有比特数量为8的比特数量内的可用补码表示。
在计算其他位数内的可表示有符号位区分的二进制形式的最大负数（即1000...000）时，也会有类似情形。

所以：0和-128的确是“数字a的补码为 -a”原则中两个特别的数字。
符号延展
将一个特定比特补码系统的数字要以较多比特表示时（例如，将一个字节的变量复制到另一个二个字节），所有增加的高比特都要填入原数字的符号比特。在一些微处理机中，有指令可以执行上述的动作。若是没有，需要自行在程序中处理。


在补码系统中，当数字要向右位移几个比特时，在位移后需将符号比特再填入原位置（算术移位），保持符号比特不变。以下是两个例子：

   数字      0010 1010             1010 1010
向右位移一次  0001 0101             1101 0101
向右位移二次  0000 1010             1110 1010
而当一个数字要向左位移n个比特时，最低比特填n个0，权值最高的n个位被抛弃。以下是两个例子：

   数字      0010 1010             1010 1010
向左位移一次  0101 0100             0101 0100
向左位移二次  1010 1000             1010 1000
向右位移一次相当于除以2，利用算术移位的方式可以确保位移后的数字正负号和原数字相同，因为一数字除以2后，不会改变其正负号。

注意：向左位移一次相当于乘以2，虽然乘以在理论上并不会改变一个数的符号，但是在补码系统中，用以表示数的二进制码长度有限，能够表示的数的范围也是有限的：若一个数的高权值上的数位已经被占用，此时再将这个数左移若干位（乘以2^n）的话，有可能造成数位溢出（overflow），高权值上的数将会失去，对于绝对值很大数，这将造成整体表达的错误。
补码的工作原理
为什么补码能这么巧妙实现了正负数的加减运算？答案是：指定n比特字长，那么就只有2^n个可能的值，加减法运算都存在上溢出与下溢出的情况，实际上都等价于模2^n的加减法运算。
例如，8位无符号整数的值的范围是0到255.因此4+254将上溢出，结果是2，即
(4 + 254) mod 256 = 258 mod 256 = 2

例如，8位有符号整数的值的范围，如果规定为−128到127，则126+125将上溢出，结果是−5，即
(126 + 125) mod 256 = 251 mod 256 = -5 
总结
熟练操作计算补码，转化的过程